Exemple de déterminant défini

Pour une matrice carrée, l`objectif de ces opérations est de réduire la matrice donnée à un triangle supérieur. Cependant, étant donné que ces deux rangées sont les mêmes, les interchangeantes quittent évidemment la matrice et, par conséquent, le déterminant inchangé. Par exemple, la commutation de deux colonnes modifie le signe du déterminant; de même, permutation les vecteurs dans le produit extérieur v1 ∧ v2 ∧ v3 ∧… ∧ VN à V2 ∧ V1 ∧ v3 ∧… ∧ VN, par exemple, change aussi son signe. Cela peut être déduit de certaines des propriétés ci-dessous, mais il suit le plus facilement directement de la formule Leibniz (ou de l`expansion Laplace), dans lequel la permutation d`identité est le seul qui donne une contribution non-zéro. Si A est une matrice carrée et k est un entier supérieur à 1, quelle relation existe-t-il entre det (A k) et det A? Comme l`inversion, la transposition inverse l`ordre de multiplication des matrices. Ainsi, l`ensemble de ces matrices (de taille fixe n) forment un groupe appelé groupe linéaire spécial. Puis det (A) = − det (B) par la deuxième propriété définissant.

L`idée de la preuve générale sera illustrée par l`illustration spécifique suivante. Géométriquement, il peut être considéré comme le facteur d`échelle de la transformation linéaire décrite par la matrice. Solution 2. Le même jour (30 novembre 1812) que Binet a présenté son article à l`Académie, Cauchy a également présenté un sur le sujet. Par conséquent, effectuer des opérations de ligne sur une matrice carrée A ne modifie pas si le déterminant est nul ou non. Supposons maintenant que B est inversible, donc det (B) B = 0. Étant donné que σ (1) = 3, σ (2) = 1 et σ (3) = 2, la permutation σ mappe les éléments 1, 2, 3 en 3, 1, 2. Bien sûr, on doit encore garder une trace de la façon dont les opérations de ligne et de colonne changent le déterminant. Supposons d`abord que A est supérieur-triangulaire, et que l`une des entrées diagonales est zéro, disons un II = 0. Que pouvez-vous dire sur le déterminant de A? Les exemples incluent le groupe spécial orthogonale (qui si n est 2 ou 3 se compose de toutes les matrices de rotation), et le groupe unitaire spécial.

L`étude des formes spéciales de déterminants a été le résultat naturel de l`achèvement de la théorie générale. Le corollaire précédent facilite le calcul du déterminant: on est autorisé à effectuer des opérations de ligne et de colonne lors de la simplification de la matrice. Par exemple, la formule de Leibniz nécessite le calcul de n! Cela signifie, par exemple, qu`un O (N2. Les déterminants de L et vous pouvez être rapidement calculés, car ils sont les produits des entrées diagonales respectives. À chaque étape de cette transformation, le déterminant est laissé inchangé, par la propriété 5. Dans la géométrie analytique, les déterminants expriment les volumes n-dimensionnels signés des parallélépipèdes n-dimensionnels. Puisque la définition du déterminant n`a pas besoin de divisions, une question se pose: est-ce qu`il existe des algorithmes rapides qui n`ont pas besoin de divisions? À chaque transformation linéaire T sur V nous associons une transformation linéaire T ′ sur W, où pour chaque w dans W nous définissons (T′w) (x1,…, xn) = w (TX1,…, TXN). Laplace (1772) [27] [28] a donné la méthode générale d`expansion d`un déterminant en termes de ses mineurs complémentaires: Vandermonde avait déjà donné un cas particulier. Il s`agit d`un moyen efficace de calculer le déterminant d`une grande matrice, soit à la main, soit par ordinateur. En effet, une opération de colonne sur A est identique à une opération de ligne sur A T et det (A) = det (A T).

Le déterminant “détermine” si le système a une solution unique (ce qui se produit précisément si le déterminant est non nul).

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